修武县第二实验小学 李红艳

［摘要］我们将小学阶段“数与代数”的教学进行整体分析，深入了解数的认识与数的运算均要以“计数单位”作为核心要素统领，而且使我们深刻认识到在理解整数、小数、分数意义的同时，理解整数、小数、分数基于计数单位表达的一致性的重要性，学习整数时就要为后面的认识分数、认识小数做好铺垫。数的本质是数，数的本质是计数单位，自然数和分数都是对数量以及数量关系的抽象.

 [关键词] 小学数学  数与运算 计数单位  

 一、凸显计数单位，感悟数的一致性

2022版义务阶段数学标准在教学建议中进一步提出：“在理解整数、小数、分数意义的同时，理解整数、小数和分数基于计数单位表达的一致性。”建立整数、小数和分数一致性的关键之一可以从“计数单位”的角度来打通认识。因为它们都可以看成是计数单位的累积。比如：数字6可以看成6个1相加（1是计数单位，6是计数单位的个数），0.6可以看成6个0.1相加（0.1是计数单位，6是计数单位的个数）,可以看成6个相加（是计数单位，6是计数单位的个数）。基于此，在自然单元教学时，我们除了结合整数、小数、分数诞生的原因，引导学生在具体情境中逐步完成由数量——符号——数的抽象，在数的读写、比较中丰盈计数单位和计数单位个数的内涵；小数的整数部分和小数部分的读法为什么会不一样呢？我们可以以这个问题为导向组织以计数单位为核心的大单元进行梳理和反思，从学生的困惑入手，通过再一次认识如何读数——画图表示数的意义——比较数的大小等学习活动，帮助学生理解整数、小数、分数的读法、画法都是在统计计数单位的个数；比较也是在比较它们包含计数单位的多与少，从而体会计数单位的价值，建构数的本质上的一致性。

二、整体把握，感悟运算的一致性

1.整数、小数、分数加，减运算的一致性——相同计数单位的累加或拆分

日常的教学知道要“把相同数位对齐、把小数点对齐、把异分母化成同分母”，却不知道为什么要这样做。其实这样做的目的就是为了保证相同的计数单位进行累加或拆分。我虽然特别注重学生对算理的感悟和表达，但是也没有想到架起整数、小数、分数加减法之间的桥梁，让它们一致关联。随着2022版新课程标准的颁布，整数、小数、分数加减运算的整体把握、一致关联变得有法可依。实际教学时，我们可以结合实际情境，也可以利用直观模型，不过最具有共通性的核心概念还是计数单位。以相同计数单位的累加或拆分统领教学，引导学生“知其然，又知其所以然”。

2.整数、小数、分数乘法和除法运算的一致性——计数单位的累加和聚合

乘法是加法的简便运算，除法是减法的简便运算，乘除法互为逆运算。从四则运算的关系来看，整数、小数、分数乘、除运算也应该保持内在的一致性。如果说所有的加法运算都是相同计数单位的累加，那么乘法运算依然是计数单位的累加和聚合。

比如：2×3表示3个2是多少？或者2个3是多少？或者2的3倍是多少？从计数单位出发，它就表示2个1的3倍是多少？所以2×3=（2×1）×（3×1）=（2×3）×（1×1）=6×1=6。（很明显这里单位的总个数是6，而计数单位是1。）

依此类推20×30=2个10的30倍是多少=2个十×3个十=（2×10）×（3×10）=（2×3）×（10×10）=600。（同样的道理，这里新单位的个数依然是6，但是计数单位是10个10，是100。）

那如果拓展到小数0.2×0.3，我们除了可以引导孩子联系实际情境，加上单位，比如街心广场铺的地砖长是0.3米，宽是0.2米，求它的面积。孩子们自然会把0.3米转化成3分米，把0.2米转化成2分米，然后用2×3=6（平方分米），再将6平方分米化成0.06平方米。我们也可以尝试引导孩子从计数单位出发，结合运算的意义和运算律，培养孩子的迁移类推能力。0.2×0.3=（2×0.1）×（3×0.1）=（2×3）×（0.1×0.1）=6×0.01=0.06，在这里2×3依然统计的是计数单位的总个数，而0.01则是新的计数单位。所以小数乘法按照整数乘法的法则算出积，这个积统计的就是计数单位的总个数，再观察两个乘数中一共有几位小数，就从积的右边起数出几位，点上小数点，则是要落实新的计数单位。如果是分数乘法，分子乘分子统计的是新单位的个数，而分母乘分母则是为了找寻新的计数单位。

这样看来整个小学阶段的乘法运算是一脉相承的。其一寻找新的计数单位，其二统计有多少个这样的单位（吴正宪老师语），具有跨学段的内在一致性。

分数除法法则是利用“除以一个不为0的数等于乘这个数的倒数”来进行计算，这与整数除法的算法和算理似乎有明显差异，也容易引起学生的质疑。因此，很有必要打通它与分数乘法的关系，我以下面一道题为例，王爷爷早晨散步时，走一段5/6千米的路，用了5/12小时，照这样的速度，他每小时可以走多少千米？根据路程÷时间=速度，列式为5/6÷5/12，具体如何计算？教师可以从推理的角度组织教学活动。

以演绎推理的形式，顺利将分数除法转化为分数乘法，与整数、小数、分数乘法保持内在的一致性，依然是找寻新的计数单位，并统计计数单位的个数。

   3.整数、小数除法运算的一致性——计数单位的拆分和细化

   史宁中教授在《关于除数是分数和小数的除法的一个注》一文中提到：“需要注意两个一致；乘法除法运算一致，整数、小数、分数运算一致。”关于整数的乘除法关系，我想借助下面的例子来说明：把8颗棋子平均分给2个小朋友，每人分几颗？在孩子的具体操作中，他们会把问题转化成除法算式8÷2=4，同时引导孩子从左到右观察：8颗棋子分成4列，每列有2个，也就是8里面包含4个2（包含除）；从上到下观察，8颗棋子分成2列，每列有4个，也就是8里面包含2个4（包含除），对应算式是8÷4=2。同时孩子们还会发现两个乘法算式2×4=8，4×2=8。，不但可以概括整数乘除法的一致性，而且渗透除法包含除的意义，还可以为小数除法的运算埋下伏笔。

总之，数的建构关注的是计数单位及其个数，运算首要关注的是算理，而非算法。只要我们共同关注数学本质，引导学生带着数与运算的灵魂——计数单位上路，合理合法，一致应用，保持跨学段的内在一致性，确保孩子们一直穿越在数感、运算能力、推理意识的路上，从而在学习中建好“承重墙”，打通“隔断墙”，将零散、碎片化的知识整体化、系统化、逻辑化，最终浸润数学思想，培育学生的数学学科素养，让学生获得生命的发展和素养的真正成长，让学生的未来更有创造性。

参考文献：

[1]义务教育课程标准（2022版）〔M〕.北京∶北京师范大学出版社，2022∶17-26

[2]吴正宪《分数乘除法复习课》

 编辑：李国营